1 数据结构(13)_二叉树的概念及常用操作实现
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1. 树到二叉树的转换
思考：通用树结构的实现太过复杂（树中每个结点都可以有任意多的孩子，具有多种形态），工程中很少会用到如此复杂的树是否可以简化呢？
思路：减少树结点中孩子的数量。但这样树是否还能通用呢？1.1.树的两种表示法
双亲孩子表示法：
孩子兄弟表示法：
孩子兄弟表示法的特点：1.能够表示任意的树形结构2.每个结点包含一个数据成员和两个指针成员3.孩子结点指针和兄弟结点指针构成“树杈” 2.2.二叉树
二叉树是由n(n>=0)个节点组成的有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两颗分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。
满二叉树：如果二叉树中所有分支结点的度数都为2，且叶子结点都在同一层次上，则称这类二叉树为满二叉树。完全二叉树：如果一棵具有N个结点高度为K的二叉树，它的每一个结点与高度为K的满二叉树中编号1~n的结点一一对应，则称这颗二叉树为完全二叉树。（从上到下，从左到右编号）。完全二叉树的特性：同样结点的二叉树，完全二叉树的高度最小；完全二叉树的叶结点一定出现在最下面两层。1.最底层的叶结点一定出现在左边；2.倒数第二层的叶结点一定出现在右边；3.完全二叉树中度数为1的结点只有左孩子。
总结：1.通用树结构采用了双亲结点表示法进行描述；2.孩子兄弟表示法也有能力描述任意类型的树结构；3.孩子兄弟表示法能够将通用树转化为二叉树（最多有两个孩子）； 2.二叉树的深层特性
1.在二叉树的第i层最多有2^(i-1)个结点（i>=1）;
2.高度为K的二叉树最多有2^k - 1个结点（K>=0）;3.对于任何一颗二叉树，如果其叶结点有n0个，度为2的非叶结点有n2个，则有n0 = n2 + 1;推导证明：- 假设二叉树中为1的结点有n1个，总结点数为n，则：n = n0 + n1 + n2;
- 假设二叉树中连接父子结点的边为e条，则： e = n1 + 2n2 (从上往下看，有一条边的结点+有两条边的结点)，同时从下往上看e = n-1(根结点之上没有与之相连的边)，故：
-
n1 + 2n2 = n-1 ==> n1 + 2n2 = n0 + n1 + n2 - 1 ==> n0 = n2 + 1
4.具有n个结点的完全二叉树的告诉为【log2N】 + 1 （【x】表示不大于x的最大整数）
5.
3.二叉树的存储结构设计
目标：完成二叉树和二叉树结点的存储设计；
设计要点：1.BTree为二叉树，每个结点最多只有两个后继结点；2.BTreeNode只包含4个固有的公有成员：（数据成员、指向左孩子和右孩子的指针、指向父节点的指针）BTreeNode的设计直接继承自抽象树结点，使用工厂模式(标识使用的堆空间，方便使用智能指针进行释放)。
template < typename T >class BTreeNode : public TreeNode
{public:BTreeNode * left;BTreeNode * right;static BTreeNode * NewNode(){ BTreeNode * ret = new BTreeNode (); if(ret != NULL) { ret->m_flag = true; //在堆空间中申请了结点，则将该标识置为true } return ret;}~BTreeNode(){}}; BTree的设计
继承自抽象树结构，并组合使用BTreeNode.
template < typename T >class BTree : public Tree{};
二叉树的实现架构：
4. 二叉树的常用操作
4.1 .二叉树的查找操作
virtual BTreeNode* find(BTreeNode * node, const T& value) const { BTreeNode * ret = NULL; if(node != NULL) // 判断是否为空树 { if(node->value == value) //比较根结点 { ret = node; } else { if(ret == NULL) { //递归查找左子树 ret = find(node->m_left, value); } if(ret == NULL) { //递归查找右子树 ret = find(node->m_right, value); } } } return ret; } BTreeNode * find(const T& value) const { return find(root(), value); }
2.基于结点的查找：
BTreeNode<T> find(TreeNode<T> node) const
virtual BTreeNode* find(BTreeNode * node, BTreeNode * obj) const { BTreeNode * ret = NULL; if(node != NULL) // 判断是否为空树 { if(node == obj) //比较根结点 { ret = node; } else { if(ret == NULL) { //递归查找左子树 ret = find(node->m_left, obj); } if(ret == NULL) { //递归查找右子树 ret = find(node->m_right, obj); } } } return ret; } BTreeNode * find(TreeNode * node) const { return find(root(), dynamic_cast *>(node)); }
4.2.二叉树的插入操作
思考：是否能在二叉树的任意结点处插入子结点？
因为二叉树的定义中，每个结点最多只能有两个子结点，所以必然不能在任意结点处插入，因此需要制定新的数据元素(新结点)的插入位置。二叉树结点的位置定义：enum BTreeNodePos{ ANY, LEFT, RIGHT}; 
1.定义功能函数，指定位置的结点插入：virtual bool insert(BTreeNode<T>* newnode, BTreeNode<T>* node, BTNodePos pos)
virtual bool insert(BTreeNode* n, BTreeNode * np, BTreeNodePos pos) { bool ret = true; //指定的插入位置为ANY(没有指定插入位置) if(pos == ANY) { if(np->m_left == NULL) // 左子树结点为空，插入到左子树 { np->m_left = n; } else if(np->m_right == NULL) // ... { np->m_right = n; } else { ret = false; } } // 指定插入到左孩子结点 if(pos == LEFT) { if(np->m_left == NULL) { np->m_left = n; } else { ret = false; } } // 指定插入到右孩子结点 if(pos == RIGHT) { if(np->m_right == NULL) { np->m_right = n; } else { ret = false; } } return ret; }
2.插入新结点
bool insert(TreeNode* node, BTreeNodePos pos)bool insert(TreeNode * node)
//插入结点，并指定位置 bool insert(TreeNode* node, BTreeNodePos pos) { bool ret = true; if(node != NULL) { if(root() == NULL) //判断根结点处是否可以插入 { node->m_parent = NULL; this->m_root = node; } else { BTreeNode * np = find(node->m_parent); //查找父节点是否存在 if(np != NULL) { // 调用二叉树插入操作功能函数 ret = insert(dynamic_cast *>(node), np, pos); } else { THROW_EXCEPTION(InvaildParameterException, "invalid parent tree node..."); } } } else { THROW_EXCEPTION(InvaildParameterException, "param con't be NULL..."); } return ret; } //插入结点，无位置要求 bool insert(TreeNode * node) { return insert(node, ANY); }
3.插入数据元素
bool insert(const T& value,TreeNode* parent, BTreeNodePos pos)bool insert(const T& value,TreeNode * parent)
//插入数据元素，指定位置 bool insert(const T& value,TreeNode* parent, BTreeNodePos pos) { bool ret = true; BTreeNode * node = BTreeNode ::NewNode(); if(node != NULL) { node->value = value; node->m_parent = parent; insert(node, pos); } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create new tree node..."); } return ret; } bool insert(const T& value,TreeNode * parent) { return insert(value, parent, ANY); }
测试技巧：从叶结点到根结点为线性数据结构，可以使用链表的遍历方式。
总结：1.二叉树的插入操作需要指明插入的位置；2.插入操作必须正确处理指向父节点的指针3.插入数据元素时需要从堆空间中创建结点，让数据元素插入失败时，需要释放结点空间。4.3. 二叉树中结点的删除与清除
4.3.1.结点删除操作
virtual void remove(BTreeNode* node, BTree *& ret) { ret = new BTree(); if(ret != NULL) { if(root() == node) { this->m_root = NULL; } else { BTreeNode * np = dynamic_cast *>(node->m_parent); if(np->m_left == node) { np->m_left = NULL; } else if(np->m_right == node) { np->m_right = NULL; } node->m_parent = NULL; } ret->m_root = node; } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create new tree..."); } }
2.基于数据元素的删除
SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value)SharedPointer< Tree> remove(const T& value) { BTree * ret = NULL; BTreeNode * node = find(value); if(node != NULL) { remove(node, ret); m_queue.clear(); } return ret; }
3.基于结点的删除
SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node)SharedPointer< Tree> remove(TreeNode * node) { BTree * ret = NULL; node = find(node); if(node != NULL) { remove(dynamic_cast *>(node), ret); m_queue.clear(); } return ret; }
测试技巧：直接打印已经删除的子树。
总结：删除操作将目标界定啊所在的子树移除，必须完善处理父子结点的关系4.3.2.结点清除操作
void clear() // 将二叉树中的所有节点清除(释放堆中的结点)
1.清除操作功能定义free(node) // 清除node为根结点的二叉树，释放二叉树中的每个结点
// 清空树的功能函数定义 void free(BTreeNode* node) { if(node != NULL) { free(node->m_left); free(node->m_right); //cout << node->value << endl; if(node->flag()) { delete node; } } } void clear() { free(root()); this->m_root = NULL; }
测试技巧：可以在free函数中打印删除的每一个结点
总结：清除操作用于销毁树中的每个结点，销毁时要判断是否释放对应的内存空间(工厂模式)。4.4.二叉树的属性操作实现
4.4.1.二叉树的结点数目
定义功能函数：cout(node) // 在node为根结点的二叉树中递归统计结点数目
// 获取树的结点个数，递归实现 int count(BTreeNode* node) const { int ret = 0; if(node != NULL) { // 左子树的结点个数 + 右子树的结点个数 + 1(根结点) ret = count(node->m_left) + count(node->m_right) + 1; } return ret; } int count() const { return count(root()); }
4.4.2.二叉树的高度
定义功能函数：height(node) // 递归获取node为根结点的二叉树的高度
// 获取树的结点个数，递归实现 int height(BTreeNode* node) const { int ret = 0; if(node != NULL) { int hl = height(node->m_left); int hr = height(node->m_right); // 左右子树高度的最大值 + 1(根结点) ret = ((hl > hr) ? hl : hr) + 1; } return ret; } int height() const { return height(root()); }
4.4.3.二叉树的度数
定义功能函数：degree(node) // 获取node为根结点的二叉树的度数
// 获取二叉树的度，递归实现 int degree(BTreeNode* node) const { int ret = 0; if(node != NULL) { /* // 普通思路 int dl = degree(node->m_left); // 左子树的度 int dr = degree(node->m_right); // 右子树的度 ret = !!node->m_left + !!node->m_right; //根结点的度 if(dl > ret) { ret = dl; } else if(dr > ret) { ret = dr; } */ /* * 优化效率，二叉树的最大度数为2，如果ret已经为2，则不需要继续遍历 ret = !!node->m_left + !!node->m_right; //根结点的度 if(ret < 2) { int dl = degree(node->m_left); // 左子树的度 if(dl > ret) { ret = dl; } } if(ret < 2) { int dr = degree(node->m_right); // 左子树的度 if(dr > ret) { ret = dr; } } */ // 优化冗余代码 ret = !!node->m_left + !!node->m_right; //根结点的度 BTreeNode * child[] = {node->m_left, node->m_right}; for(int i=0; i<2 && ret<2; i++) { int d = degree(child[i]); if(d > ret) { ret = d; } } } return ret; } int degree() const { return degree(root()); }
4.5.二叉树的层次遍历
二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有节点，使得每个结点被访问一次。
思考：通用树结构的层次遍历算法是否可以用在二叉树结构上？如果可以需要做什么改动？不同之处在于二叉树最多只有两个孩子。设计思路：在树中定义一个新游标(BTreeNode<T>*)，遍历开始将游标指向根结点(root())，获取游标指向的数据元素，通过结点中的child成员移动游标；提供一组遍历相关的函数，按层次访问树中的数据元素。
层次遍历算法：原料：class LinkQueue<T>; 游标：LinkQueue<T>::front();思想： - begin() 将根结点压人队列中
- current() 访问队头指向的数据元素
- next() 队头元素弹出，将队头元素的孩子(左孩子、右孩子)压入队列中(核心)
-
end() 判断队列是否为空
bool begin(){ bool ret = (root() != NULL); if(ret) { m_queue.clear(); m_queue.enqueue(root()); //把根结点压入队里 } return ret;}bool end(){ return (m_queue.length() == 0);}bool next(){ bool ret = (m_queue.length() > 0); if(ret) { BTreeNode* node = m_queue.front(); m_queue.dequeue(); // 二叉树的左右孩子入队列 if(node->m_left != NULL) { m_queue.enqueue(node->m_left); } if(node->m_right != NULL) { m_queue.enqueue(node->m_right); } } return ret;}// 获取游标所执行的元素T current(){ if(!end()) { return m_queue.front()->value; } else { THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "invalid operation ..."); }} 使用示例：
for(bt.begin(); !bt.end(); bt.next()){ cout << bt.current() << " ";}5.二叉树的典型遍历方式
问题：二叉树是否只有一种遍历方式(层次遍历)？
典型的二叉树遍历方式：这里的先序、后序、中序指的的根结点的访问次序1.先序遍历(Pre-Order Traversal)
// 先序遍历void PreOrderTraversal(BTreeNode
* node, LinkQueue *>& queue){ if(node != NULL) { queue.enqueue(node); PreOrderTraversal(node->m_left, queue); PreOrderTraversal(node->m_right, queue); }} 2.中序遍历(In-Order TRaversal)
// 中序遍历void InOrderTraversal(BTreeNode
* node, LinkQueue *>& queue){ if(node != NULL) { InOrderTraversal(node->m_left, queue); queue.enqueue(node); InOrderTraversal(node->m_right, queue); }} 3.后续遍历(Post-Order Traversal)
// 后序遍历void PostOrderTraversal(BTreeNode
* node, LinkQueue *>& queue){ if(node != NULL) { PostOrderTraversal(node->m_left, queue); PostOrderTraversal(node->m_right, queue); queue.enqueue(node); }} 4.层次遍历(LevelOrder- Traversal)
// 层次遍历void LevelOrderTraversal(BTreeNode
* node,LinkQueue *>& queue){ if(node != NULL) { LinkQueue *> tmp; // 定义辅助队列 tmp.enqueue(node); // 根结点入队列 while(tmp.length()>0) // end { BTreeNode * n = tmp.front(); if(n->m_left != NULL) { tmp.enqueue(n->m_left); } if(n->m_right != NULL) { tmp.enqueue(n->m_right); } tmp.dequeue(); //队头元素出队列，并存入输出队列 queue.enqueue(n); } }} 思考：是否可以将二叉树的典型遍历方式算法集成到BTree中，如果可以，代码需要做怎样的改动？
设计要点：1.不能与层次遍历函数冲突，必须设计新的函数接口2.算法执行完成后，能够方便的获得遍历结果，遍历结果能反映结点访问的先后次序函数接口设计：SharedPoiner<Array<T>> traversal(BTTraversal order)1.根据参数order选择执行遍历算法(先序、中序、后序)2.返回值为堆中的数组对象(生命周期由智能指针管理)3.数据元素的次序反映遍历的先后次序void traversal(BTTraversal order,LinkQueue
*>& queue){ switch (order) { case PreOrder: PreOrderTraversal(root(),queue); break; case InOrder: InOrderTraversal(root(),queue); break; case PostOrder: PostOrderTraversal(root(),queue); break; case LevelOrder: LevelOrderTraversal(root(),queue); break; default: THROW_EXCEPTION(InvaildParameterException,"Parameter order is invalid ..."); break; }}SharedPointer > traversal(BTTraversal order){ DynamicArray * ret = NULL; LinkQueue *> queue; //保存执行二叉树结点的指针 traversal(order, queue); ret = new DynamicArray (queue.length()); if(ret != NULL) { for(int i=0; i length(); i++,queue.dequeue()) { //cout << queue.front()->value << endl; ret->set(i, queue.front()->value); } } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create dynamic array..."); } return ret;} 典型遍历示例：
SharedPointer
> sp = NULL;sp = bt.traversal(PostOder);for(int i=0; i<(*sp).length(); i++){ cout << (*sp)[i] << " ";} 总结：
1.二叉树的典型遍历都是以递归方式进行的；2.BTree以不同的函数接口支持典型遍历，防止与层次遍历冲突；6.二叉树的克隆、比较和相加
6.1.二叉树克隆
克隆当前树的一份拷贝，返回值为堆空间中的一颗新树(与当前树相等)。
SharedPointer<BTree<T>> clone() const功能函数定义：clone(node)递归克隆node为根结点的二叉树(数据元素在对应位置相等)
BTreeNode
* clone(BTreeNode * node) const{ BTreeNode * ret = NULL; if(node != NULL) { ret = BTreeNode ::NewNode(); if(ret != NULL) { ret->value = node->value; // 克隆根结点 ret->m_left = clone(node->m_left); //递归克隆左子树 ret->m_right = clone(node->m_right); //递归克隆右子树 //连接父子关系 if(ret->m_left != NULL) { ret->m_left->m_parent = ret; } if(ret->m_right != NULL) { ret->m_right->m_parent = ret; } } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create new tree node..."); } } return ret;}SharedPointer > clone() const{ BTree * ret = new BTree(); if(ret != NULL) { ret->m_root = clone(root()); } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create new tree..."); } return ret;} 6.2.二叉树比较
判断两颗二叉树中的数据元素是否对应相等：
bool operater == (const BTree<T>& btree)bool operater == (const BTree<T>& btree)
功能函数定义：equal(lh, rh)递归判断lh为根结点的二叉树和rh为根结点的二叉树是否相等。
bool equal(BTreeNode
* lh, BTreeNode * rh){ bool ret = true; if(lh == rh) // 自比较或者两棵树都为空 { ret = true; } else if((lh != NULL) && (rh != NULL)) //参与比较的两棵树都不为空 { // 递归比较根结点、左子树、右子树 ret = ((lh->value == rh->value) && (equal(lh->m_left, rh->m_left)) && equal(lh->m_right, rh->m_right)); } else // 两棵树中有一颗为空 { ret = false; } return ret;}bool operator == (const BTree & btree){ return equal(root(), btree.root());}bool operator != (const BTree & btree){ return !(*this == btree);} 6.3.二叉树相加
将当前二叉树与参数btree中的数据元素在对应的位置处相加，返回值(相加的结果)为堆空间中的一颗新二叉树。
SharedPointer<BTree<T>> add(const BTree<T>& btree) const
二叉树相加操作功能函数定义：add(lh, rh),将lh为根节点的二叉树与rh为根结点的二叉树相加。
BTreeNode
* add(BTreeNode * lh, BTreeNode * rh) const{ BTreeNode * ret = NULL; if((lh != NULL) && (rh == NULL)) // 二叉树lh不为空 { ret = clone(lh); } if((lh == NULL) && (rh != NULL)) // 二叉树rh不为空 { ret = clone(rh); } if((lh != NULL) && (rh != NULL)) // 二叉树都不为空 { ret = BTreeNode ::NewNode(); if(ret != NULL) { ret->value = lh->value + rh->value; // 根结点相加 ret->m_left = add(lh->m_left, rh->m_left); // 左子树递归相加 ret->m_right = add(lh->m_right, rh->m_right); // 右子树递归相加 //连接父子关系 if(ret->m_left != NULL) { ret->m_left->m_parent = ret; } if(ret->m_right != NULL) { ret->m_right->m_parent = ret; } } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create new tree node..."); } } return ret;} SharedPointer > add(const BTree & btree) const{ BTree * ret = new BTree(); if(ret != NULL) { ret->m_root = add(root(), btree.root()); } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create new node..."); } return ret;} 7.二叉树线索化实现
1.什么是线索化二叉树？
将二叉树转换为双向链表的过程(非线性-->线性)的过程称为线索化。能够反映某种二叉树的遍历次序（结点的先后访问次序）技巧：利用结点的right指针指向遍历中的后继结点，left指针指向前驱结点。为什么要要进行线索化？二叉树的遍历操作都采用递归进行(比较低效)，如果需要经常遍历，将二叉树进行线索化后作为双向链表存在，后续直接访问双向链表将提高效率。2.如何对二叉树进行线索化？
使用某种遍历算法对二叉树进行遍历，在遍历的同时将遍历顺序存储到队列，然后使用left和right指针连接队列中的结点。
3.目标 - 新增功能函数traversal(order, queue),同时新增遍历方式（层次遍历）LeverOrder
-
新增共有函数BTreeNode<T>* thread(BTTraversal order)
4.层次遍历实现(1)将根结点压入队列(2)访问队头元素指向的二叉树结点(3)队头元素弹出，将队头元素的孩子压入队列(4)判断队列是否为空(非空：执行2，空：结束)
// 层次遍历void LevelOrderTraversal(BTreeNode
* node,LinkQueue *>& queue){ if(node != NULL) { LinkQueue *> tmp; // 定义辅助队列 tmp.enqueue(node); // 根结点入队列 while(tmp.length()>0) // end { BTreeNode * n = tmp.front(); if(n->m_left != NULL) { tmp.enqueue(n->m_left); } if(n->m_right != NULL) { tmp.enqueue(n->m_right); } tmp.dequeue(); //队头元素出队列，并存入输出队列 queue.enqueue(n); } }} 5.线索化实现
函数接口：BTreeNode<T>* thread(BTTraversal order)(1)根据参数order选择线索化的次序（先序、中序、后续、层次）(2)连接线索化后的结点；(3)返回线索化后指向链表首节点的指针，并将对应的二叉树变为空树
6.队列中结点的连接 - 初始操作，定义一个slider指针并指向队列头部元素，队列头部元素的left指针指向NULL并出队列；
-
slider的right指针指向新的队列头部元素，队头元素的left指针指向slider，slider记录队头元素，队头元素出队列。
void traversal(BTTraversal order,LinkQueue
*>& queue){ switch (order) { case PreOrder: PreOrderTraversal(root(),queue); break; case InOrder: InOrderTraversal(root(),queue); break; case PostOrder: PostOrderTraversal(root(),queue); break; case LevelOrder: LevelOrderTraversal(root(),queue); break; default: THROW_EXCEPTION(InvaildParameterException,"Parameter order is invalid ..."); break; }}BTreeNode * connect(LinkQueue *>& queue){ BTreeNode * ret = NULL; if(queue.length() > 0) { //返回队列的队头元素指向的结点作为双向链表的首结点 ret = queue.front(); //创建一个游标结点，指向队列队头 BTreeNode * slider = queue.front(); //将队头元素出队 queue.dequeue(); //双向链表的首结点的前驱设置为空 ret->m_left = NULL; while(queue.length() > 0) { //当前游标结点的后继指向队头元素 slider->m_right = queue.front(); //当前队头元素的前驱指向当前游标结点 queue.front()->m_left = slider; //将当前游标结点移动到队头元素 slider = queue.front(); //将当前队头元素出队，继续处理新的队头元素 queue.dequeue(); } //双向链表的尾结点的后继为空 slider->m_right = NULL; } return ret;}BTreeNode * thread(BTTraversal order){ BTreeNode * ret = NULL; LinkQueue *> queue; traversal(order, queue); //遍历二叉树，并按遍历次序将结点保存到队列 ret = connect(queue); //连接队列中的结点成为双向链表 this->m_root = NULL; //将二叉树的根节点置空 m_queue.clear(); //将游标遍历的辅助队列清空 //返回双向链表的首结点 return ret;} 总结：
1.线索化是将二叉树转化为双向链表的过程，线索华后结点间的先后次序符合某种遍历次序；2.线索化将破坏原二叉树间的父子关系，同时线索化后二叉树将不再管理结点中的生命周期（二叉树已经不存在，只有双向链表）。8.二叉树的经典面试题分析
8.1.单度结点删除
要求：编写一个函数用于删除二叉树中的所欲单度结点，结点删除后，其唯一的子结点代替它的位置
8.1.1.结点中包含指向父节点的指针
定义功能函数：delOdde(node) // 递归删除node为根结点的二叉树中的单度结点
template
BTreeNode * delOdd1(BTreeNode * node){BTreeNode * ret = NULL;if(node != NULL) //递归出口{ // 判断单度结点 if( ((node->m_left != NULL) && (node->m_right == NULL)) || ((node->m_left == NULL) && (node->m_right != NULL)) ) { BTreeNode * parent = dynamic_cast *>(node->m_parent); BTreeNode * node_child = (node->m_left != NULL) ? node->m_left : node->m_right; if(parent != NULL) { // 删除单度结点，并使用唯一的子结点代替它的位置 BTreeNode *& parent_child = (parent->m_left == node) ? parent->m_left : parent->m_right; parent_child = node_child; // 处理指向子结点的指针 node_child->m_parent = parent; // 处理指向父结点指针 } else { node_child->m_parent = NULL; } if(node->flag()) { delete node; // 如果节点创建字堆空间，释放内存 } ret = delOdd1(node_child); // 最后删除该单度结点 } else // 非单度结点 { delOdd1(node->m_left); delOdd1(node->m_right); ret = node; }}return ret;} 8.1.2.结点中只包含左右孩子指针
定义功能函数：delOdde(node) // 递归删除node为根结点的二叉树中的单度结点，其中node为结点指针的引用
template
void delOdd2(BTreeNode *& node){if(node != NULL) // 递归出口{ // 判断单度结点 if( ((node->m_left != NULL) && (node->m_right == NULL)) || ((node->m_left == NULL) && (node->m_right != NULL)) ) { // 删除单度结点，并使用唯一的子结点代替它的位置 BTreeNode * node_child = (node->m_left != NULL) ? node->m_left : node->m_right; if(node->flag()) { delete node; } node = node_child; // 因为没有指向父结点的指针，所以只需要处理指向子结点的指针 delOdd2(node); } else // 非单度结点 { delOdd2(node->m_left); delOdd2(node->m_right); }}} 8.2.中序线索化二叉树
要求：编写一个函数用于中序线索化二叉树，不能使用其他的数据结构。
8.2.1.解法1
在中序遍历的同时进行线索化
思路：使用辅助指针，在中序遍历时指向当前结点的前驱结点，访问当前结点时，连接与前驱结点的先后次序。
定义功能函数：inOrderThread(node,pre),其中node为根结点，也是中序遍历访问的结点，pre为中序遍历时的前驱结点指针。
template// 其中node为根结点，也是中序遍历访问的结点，pre为中序遍历时的前驱结点指针void inOrderThread(BTreeNode * node,BTreeNode *& pre) { if(node != NULL) { inOrderThread(node->m_left,pre); node->m_left = pre; if(pre != NULL) { pre->m_right = node; } pre = node; inOrderThread(node->m_right,pre); }}template BTreeNode * inOrderThread1(BTreeNode * node){ BTreeNode * pre = NULL; inOrderThread(node,pre); while((node != NULL) && (node->m_left != NULL)) { node = node->m_left; } return node;}
8.2.2.解法2
中序遍历的结点正好是结点的水平次序思路：
1.使用辅助指针，指向转换后双向链表的头节点和尾节点；2.根结点与左右子树转为的双向链表连接，称为完整双向链表。
定义功能函数：inOrderThread(node, head, tail)：Node为根结点，也是中序遍历的访问结点，head转后成功后指向双向链表的首节点，tail转换成功后指向双向链表的尾节点。
template// Node为根结点，也是中序遍历的访问结点，head转换成功后指向双向链表的首节点，tail转换成功后指向双向链表的尾节点void inOrderThread(BTreeNode * node,BTreeNode *& head,BTreeNode *& tail){ if(node != NULL) { BTreeNode * h = NULL; BTreeNode * t = NULL; inOrderThread(node->m_left,h,t); node->m_left = t; if(t != NULL) { t->m_right = node; } head = (h != NULL) ? h : node; h = NULL; t = NULL; inOrderThread(node->m_right,h,t); node->m_right = h; if(h != NULL) { h->m_left = node; } tail = (t != NULL) ? t : node; }}template BTreeNode * inOrderThread2(BTreeNode * node){ BTreeNode * head = NULL; BTreeNode * tail = NULL; inOrderThread(node,head,tail); return head;}
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